基础数学示例

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ 。

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} \cdot \frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ 。

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{(4 - \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.3

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{16 + 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.4

化简。

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

对 $4 + \sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.5.2

对 $4 + \sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} {(4 + \sqrt{5})}^{1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{2}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.6

将 ${(4 + \sqrt{5})}^{2}$ 重写为 $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ 。

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.7

使用 FOIL 方法展开 $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 1.7.1

运用分配律。

$\frac{4 (4 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.7.3

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.8.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.8.1.2

将 $4$ 移到 $\sqrt{5}$ 的左侧。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.8.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.8.1.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.8.1.5

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.8.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + 5}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.8.2

将 $16$ 和 $5$ 相加。

$\frac{21 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.8.3

将 $4 \sqrt{5}$ 和 $4 \sqrt{5}$ 相加。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

解题步骤 1.9

将 $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$

解题步骤 1.10

将 $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{(4 + \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}$

解题步骤 1.11

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{16 - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 - {\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 1.12

化简。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

解题步骤 1.13

化简分子。

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解题步骤 1.13.1

对 $4 - \sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} (4 - \sqrt{5})}{11}$

解题步骤 1.13.2

对 $4 - \sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} {(4 - \sqrt{5})}^{1}}{11}$

解题步骤 1.13.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11}$

解题步骤 1.13.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{2}}{11}$

解题步骤 1.14

将 ${(4 - \sqrt{5})}^{2}$ 重写为 $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

解题步骤 1.15

使用 FOIL 方法展开 $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 1.15.1

运用分配律。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 (4 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

解题步骤 1.15.2

运用分配律。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

解题步骤 1.15.3

运用分配律。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

解题步骤 1.16

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.16.1

化简每一项。

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解题步骤 1.16.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

解题步骤 1.16.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

解题步骤 1.16.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

解题步骤 1.16.1.4

乘以 $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ 。

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解题步骤 1.16.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

解题步骤 1.16.1.4.2

将 $\sqrt{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

解题步骤 1.16.1.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{11}$

解题步骤 1.16.1.4.4

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{11}$

解题步骤 1.16.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{11}$

解题步骤 1.16.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2}}{11}$

解题步骤 1.16.1.5

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 1.16.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{11}$

解题步骤 1.16.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{11}$

解题步骤 1.16.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

解题步骤 1.16.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.16.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

解题步骤 1.16.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{1}}{11}$

解题步骤 1.16.1.5.5

计算指数。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5}{11}$

解题步骤 1.16.2

将 $16$ 和 $5$ 相加。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5}}{11}$

解题步骤 1.16.3

从 $- 4 \sqrt{5}$ 中减去 $4 \sqrt{5}$ 。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{21 + 8 \sqrt{5} + 21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

解题步骤 2.2

将 $21$ 和 $21$ 相加。

$\frac{42 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5}}{11}$

解题步骤 2.3

从 $8 \sqrt{5}$ 中减去 $8 \sqrt{5}$ 。

$\frac{42 + 0}{11}$

解题步骤 2.4

将 $42$ 和 $0$ 相加。

$\frac{42}{11}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{42}{11}$

小数形式：

$3.\overline{81}$

带分数形式：

$3 \frac{9}{11}$

基础数学 示例

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